নিচের কোন রাশিটি প্রতিসম?

বিস্তারিত সমাধান:

একটি বীজগণিতীয় রাশিকে প্রতিসম রাশি (Symmetric Expression) বলা হয় যদি এর যেকোনো দুটি চলকের স্থান পরিবর্তন করলেও রাশির মান বা রূপের কোনো পরিবর্তন না হয়।

চলুন, প্রতিটি অপশন যাচাই করি:

১. \(a+b+c\)

    
• যদি \(a\) এবং \(b\) এর স্থান পরিবর্তন করি, রাশিটি হয় \(b+a+c\), যা \(a+b+c\) এর সমান।
    
• যদি \(b\) এবং \(c\) এর স্থান পরিবর্তন করি, রাশিটি হয় \(a+c+b\), যা \(a+b+c\) এর সমান।
    
• যেহেতু যেকোনো দুটি চলকের স্থান পরিবর্তনে রাশির কোনো পরিবর্তন হয় না, তাই \(a+b+c\) একটি প্রতিসম রাশি।

২. \(xy- yz + zx\)

    
• যদি \(x\) এবং \(y\) এর স্থান পরিবর্তন করি, রাশিটি হয় \(yx - xz + zy\)।
    
• মূল রাশি ছিল \(xy - yz + zx\)। পরিবর্তিত রাশিটি মূল রাশির সমান নয়, কারণ পদের চিহ্ন এবং বিন্যাস ভিন্ন হতে পারে (যেমন, \(yz\) এর সহগ এখানে \(-1\) কিন্তু পরিবর্তিত রাশিতে \(zy\) এর সহগ \(+1\))।
    
• সুতরাং, এটি প্রতিসম রাশি নয়।

৩. \(x^2-y^2+z^2\)

    
• যদি \(x\) এবং \(y\) এর স্থান পরিবর্তন করি, রাশিটি হয় \(y^2-x^2+z^2\)।
    
• মূল রাশি ছিল \(x^2-y^2+z^2\)। পরিবর্তিত রাশিটি মূল রাশির সমান নয়।
    
• সুতরাং, এটি প্রতিসম রাশি নয়।

৪. \(2a^2-5bc-c^2\)

    
• যদি \(a\) এবং \(b\) এর স্থান পরিবর্তন করি, রাশিটি হয় \(2b^2-5ac-c^2\)।
    
• মূল রাশি ছিল \(2a^2-5bc-c^2\)। পরিবর্তিত রাশিটি মূল রাশির সমান নয়।
    
• সুতরাং, এটি প্রতিসম রাশি নয়।

উপরোক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যাচ্ছে যে, শুধুমাত্র \(a+b+c\) রাশিটি প্রতিসম।